Lors donc que la courbe à double courbure sera donnée, par deux équations en ; à l’aide de deux différentiations consécutives, on en tirera les valeurs de que l’on mettra dans les équations (1, 2) ; il en résultera deux nouvelles équations qui, jointes aux deux proposées et à l’équation (3), en feront cinq en tout ; éliminant, entre elles, on obtiendra deux équations en qui seront celles de la parallèle demandée.
Si l’on développe sur un plan la surface enveloppe des plans normaux, notre courbe à double courbure et ses deux parallèles deviendront évidemment une courbe plane et ses deux parallèles à la distance tout ce que nous avons dit des parallèles aux courbes planes a donc lieu ici, pourvu qu’on entende par l’angle des normales extrêmes l’angle que feraient ces normales si la face enveloppe des plans normaux était étendue sur un plan.
Nous terminerons en remarquant qu’on peut donner une extension beaucoup plus grande à ces sortes de recherches, en considérant, non pas des lignes et surfaces parallèles, mais des lignes et surfaces également inclinées les unes aux autres dans leurs points correspondans. Ainsi, à ne parler que des courbes planes, on pourrait demander quelle est la courbe qui coupe toutes les normales à une même courbe donnée sous un même angle donné ; et, de même que la considération des lignes et surfaces parallèles nous a conduit à considérer des parallélogrammes plans et gauches et des parallèlipipèdes à bases courbes, ces nouvelles questions donneraient naissance à des triangles et à des polygones plans et gauches à côtés courbes et à des pyramides et polyèdres à faces courbes ; et parmi ces nouvelles figures, quelques-unes pourraient jouir de diverses propriétés très-dignes de remarque.
