lesquels sont ici les projections des points correspondans de la figure primitive, seront en ligne droite ; d’où il suit que les points dont ceux-là sont les projections y seront aussi.
Voilà donc la proposition démontrée pour l’ellipse ; et on voit en outre que, comme dans le cercle, la distance du centre au point où la droite qui va de ce centre au sommet de l’angle circonscrit coupe la courbe, est moyenne proportionnelle entre les distances de ce centre à ce sommet et au milieu de la corde de contact, il en doit être de même pour l’ellipse ; propriété qu’on n’avait démontrée jusqu’ici que pour le seul cas où le sommet de l’angle est sur l’un des diamètres principaux.
Ces propriétés étant tout-à-fait indépendantes des valeurs qu’on voudra donner aux deux diamètres principaux de l’ellipse, elles devront encore avoir lieu lorsque l’un d’eux sera infini ou imaginaire ; c’est-à-dire, lorsque l’ellipse deviendra une parabole ou une hyperbole. Toutefois, ceux qui ne trouveraient pas ces propriétés suffisamment démontrées, pour ces deux dernières courbes, par ce qui précède, pourront recourir à la démonstration analitique que voici[1].
Soit
- ↑ M. Durrande, qui s’est aussi occupé de la même question, démontre la proposition, pour une section conique quelconque, en considérant que si l’on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués dont l’un soit parallèle à la corde de contact, les deux extrémités de cette corde auront une abscisse commune ; d’où il suit que les soustangentes de ces deux points seront égales, et qu’ainsi les deux tangentes iront concourir en un même point de la droite qui joint le centre au milieu de la corde de contact.
On parviendrait encore au but en observant, 1.o que la proposition est évidente lorsque le sommet de l’angle circonscrit est sur l’un des diamètres principaux ; 2.o qu’on peut toujours, par une projection orthogonale convenable, ramener les autres cas à celui-là.
J. D. G.
