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VOLUME DU TÉTRAÈDRE.

Soient circonscrits à $M$ un pareil nombre de prismes triangulaires de même hauteur ; il est aisé de voir que chaque prisme circonscrit à $M$ sera équivalent au prisme de même rang circonscrit à $\,;N$ d’où il suit que la somme des prismes circonscrits à $M$ sera équivalente à la somme des prismes circonscrits à $N,$ et pourra comme elle être représentée par $P.$

Mais, parce qu’ils sont circonscrits à $M,$ on devrait avoir

$M<P,\qquad$(4)

qui, combinée avec (3), donnerait, à plus forte raison,

$M<N',\qquad$(5)

ce qui contredit l’hypothèse (2) ; cette hypothèse est donc absurde ; deux tétraèdres de bases équivalentes et de même hauteur sont donc équivalens.

Je n’aurais point parlé de cette démonstration, à laquelle je n’ai jamais songé à attacher aucune sorte d’importance, si je n’avais eu à mentionner une autre démonstration de la même proposition qui m’a été récemment adressée par M. Querret, chef d’institution à Saint-Malo. Voici comment procède M. Querret :

Soit toujours supposé, comme ci-dessus,

$M>N,\qquad$(1)

leur différence, si petite qu’on la suppose, pourra toujours être considérée comme équivalente à un certain prisme triangulaire ayant même base que $M$ et une hauteur convenable.

Soit divisée la hauteur commune des deux tétraèdres en parties égales plus petites que la hauteur de ce prisme triangulaire ; soient conduits, par les points de division, des plans parallèles aux bases et soient construits entre ces plans des prismes triangulaires circonscrits à $M$ dont nous désignerons la somme par $P,$ et des prismes inscrits à $N$ dont nous désignerons la somme par $Q\,;$ nous aurons conséquemment

$P>M,\quad$(2)$\qquad Q<N\,;\quad$(3)

d’où