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ET DES SURFACES COURBES.

les parallèles à son axe ; ce sont les courbes qui ont leurs tangentes en chaque point parallèles aux tangentes aux points carrespondans de la courbe à double courbure à laquelle la surface dont il s’agit est parallèle. Comme ces courbes sont déjà assujetties à être sur une surface qui est censée connue, il ne s’agit plus, pour déterminer l’une d’elles, que d’assigner une autre courbe sur laquelle elle se trouve également.

Soit $(x',y',z')$ un point de la courbe à double courbure donnée ; et soit $(t',u',v')$ le point correspondant de la parallèle cherchée ; les tangentes en ces deux points auront pour équations

${\begin{array}{ll}x-x'={\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),&x-t'={\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} v'}}(z-v'),\\\\y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}(y-y'),&y-u'={\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} v'}}(z-v')\,;\end{array}}$

donc, pour que les courbes soient parallèles, ou devra avoir, en supprimant les accens,

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}.$

en différenciant donc les deux équations de la courbe à double courbure donnée, et en changeant, dans leurs différentielles respectivement $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z$ en $\operatorname {d} t,\operatorname {d} u,\operatorname {d} v,$ on se trouvera avoir quatre équations, entre lesquelles éliminant $x,y,z,$ on obtiendra pour résultat l’équation différentielle totale d’une surface qui coupera la surface parallèle suivant la courbe cherchée. Ayant intégré cette équation, on déterminera la constante introduite par l’intégration en assujettissant la courbe à passer par un point déterminé de la surface parallèle.