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PARALLÉLISME DES LIGNES

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}={\frac {b}{c}}\,;$

au moyen de quoi l’équation (1) deviendra

$a(t-x)+b(u-y)+c(v-z)=0\,;$

de celle-ci et de la double équation de notre droite on tirera

$x={\frac {a(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad y={\frac {b(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad z={\frac {c(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$

et, par suite

${\begin{aligned}&t-x={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)t-a(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\\\\&u-y={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)u-b(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\\\\&v-z={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)v-c(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;\end{aligned}}$

substituant donc ces valeurs dans l’équation (2), nous aurons, pour l’équation de la courbe cherchée,

$(at+bu+cv)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}-k^{2}\right).$

Soit encore, pour exemple, le cercle donné par le système des deux équations

${\begin{aligned}&ax+by+cz=0,\\\\&x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,;\end{aligned}}$

on aura ici