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RÉSOLUES.

ordonnées des deux points donnés et l’axe des $x.$ Supposons, en premier lieu, qu’on n’exige pas que la courbe passe par ces deux points, mais seulement qu’elle se termine à leurs ordonnées, considérées comme des droites indéfinies ; la question se trouvera donc ainsi réduite à trouver la relation entre $x$ et $y$ qui rend égale à $k^{2}$ l’intégrale $\int y\operatorname {d} x,$ prise entre les limites $a$ et $g\,;$ or, on a ici $V=y\,;$ l’équation de la courbe cherchée sera donc, par la formule (3),

$y={\frac {k^{2}\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}.\qquad$(4)

Il ne s’agit plus présentement que de profiter de l’indétermination de la fonction $\operatorname {F}$ pour assujettir la courbe à passer par les points $(a,b),\ (g,h).$ Pour le faire de la manière la plus générale, soit posé

$\operatorname {F} (x)=M\phi (x)+N\psi (x)+P\chi (x),$

$M,N$ et $P$ étant des constantes arbitraires ; on aura ainsi

${\begin{aligned}&\operatorname {F} (x)=M\phi '(x)+N\psi '(x)+P\chi '(x),\\&\operatorname {F} (a)=M\phi \,\ (a)+N\psi \,\ (a)+P\chi \,\ (a),\\&\operatorname {F} (g)=M\phi \,\ (g)+N\psi \,\ (g)+P\chi \,\ (g),\end{aligned}}$

d’où

$\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)=M\left[\phi (a)-\phi (g)\right]+N\left[\psi (a)-\psi (g)\right]+P\left[\chi (a)-\chi (g)\right]\,;$

mettant donc toutes ces valeurs dans la formule (4), chassant le dénominateur ; transposant et ordonnant par rapport aux constantes, il viendra

$\left.{\begin{aligned}&M\left\{\left[\phi (a)-\phi (g)\right]y-k^{2}\phi '(x)\right\}\\+&N\left\{\left[\psi (a)-\psi (g)\right]y-k^{2}\psi '(x)\right\}\\+&P\left\{\left[\chi (a)-\chi (g)\right]y-k^{2}\chi '(x)\right\}\end{aligned}}\right\}=0\,;$