Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/311

303

FONCTIONS.

Il est d’abord aisé de voir qu’elles sont toutes commutatives, tant entre elles qu’avec le facteur constant ; et il n’est pas plus difficile d’apercevoir que ${\frac {\rm {E}}{y}},{\frac {\Delta }{y}},$ sont commutatives avec toute fonction de $x$ sans $y,$ tandis que ${\frac {\rm {E}}{x}},{\frac {\Delta }{x}},$ le sont avec toute fonction de $y$ sans $x\,;$ enfin, il n’est pas moins évident qu’elles sont toutes distributives.

En représentant donc par $p$ une fonction quelconque de $y$ et de constantes, nous aurons

${\begin{array}{ll}{\frac {\rm {E}}{x}}(up)=p{\frac {\rm {E}}{x}}u,&{\frac {\Delta }{x}}(up)=p{\frac {\Delta }{x}}u,\\{\frac {\rm {E}}{x}}p=p,&{\frac {\Delta }{y}}p=0.\end{array}}$

Si, au contraire, $p$ était supposé fonction de $x$ et de constantes, nous aurions

${\begin{array}{ll}{\frac {\rm {E}}{y}}(up)=p{\frac {\rm {E}}{y}}u,&{\frac {\Delta }{y}}(up)=p{\frac {\Delta }{y}}u,\\{\frac {\rm {E}}{y}}p=p,&{\frac {\Delta }{y}}p=0.\end{array}}$

On voit, d’après cela, qu’il est toujours possible de prendre les dérivées $\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}u,\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}u$ de manière qu’elles s’évanouissent, la première en même temps que $x,$ et la seconde en même temps que $y\,;$ et c’est ce que nous supposerons désormais.

Dans ce cas, $\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}$ est commutative avec ${\frac {\rm {E}}{y}},{\frac {\Delta }{y}},\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}$ et avec toute fonction qui ne renferme pas $x\,;$ de même