Si l’on applique aux courbes à double courbure la définition que nous avons donnée tant des lignes parallèles, dans un plan, que des surfaces parallèles, dans l’espace, on verra aisément qu’il n’y a pas seulement ici une ou deux lignes parallèles et également distantes d’une ligne donnée ; mais que ces parallèles sont en nombre infini et forment, par leur ensemble, une sorte de tuyau ou de cylindre courbe, dont la ligne à double courbure donnée peut être considérée comme l’axe.
On peut remarquer, en effet, que, par le point de contact de chaque tangente à une courbe à double courbure, on peut lui mener une infinité de perpendiculaires, toutes comprises dans le plan normal à ce point, et qu’en prenant toutes ces perpendiculaires d’une même longueur leurs extrémités appartiendront à une circonférence ayant le point de contact pour centre et cette longueur pour rayon ; et il répondra un pareil cercle à chacun des points de la courbe donnée. Puis donc que la parallèle à cette courbe n’est assujettie qu’à passer par les extrémités d’une suite de normales d’une longueur constante il est visible qu’ici le nombre des parallèles sera infini, et qu’elles seront toutes tracées sur le tuyau ou sur la surface annulaire dont il vient d’être question, et dont toutes les sections normales à son axe sont des cercles égaux, mais non parallèles.
Si, par la tangente en l’un des points d’une courbe à double courbure, on conduit un plan arbitraire, et par le point de contact une normale perpendiculaire à ce plan, prolongée jusqu’à la rencontre
