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FONCTIONS.

problème relative à cette série est déjà connue, nous ne nous y arrêterons pas. Nous donnerons seulement une expression assez simple de cette fonction pour la formule ordinaire d’interpolation, par les différences finies ; c’est tout ce qu’il nous est possible de faire pour le présent.

Si, dans la formule (2), on suppose que les caractéristiques $\bigtriangledown ,\bigtriangledown _{1},\bigtriangledown _{2}\ldots$ sont identiquement les mêmes, que l’on fasse la même supposition pour les caractéristiques $\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots \,;$ et qu’on suppose en outre que les fonctions $u,u_{1},u_{2},\ldots$ sont égales, et qu’il en est de même des fonctions $p,p_{1},p_{2},\ldots ,$ il viendra, suivant les notations que nous avons adoptées,

$\left.{\begin{aligned}&u=\bigtriangledown ^{-1}p+\left(\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \right)\bigtriangledown ^{-1}p+\left(\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \right)^{2}\bigtriangledown ^{-1}p+\left(\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \right)^{3}\bigtriangledown ^{-1}+\ldots \\&\qquad \qquad +\ldots \left(\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \right)^{i-1}\bigtriangledown ^{-1}p+\left(\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \right)^{i}u,\\\end{aligned}}\right\}$ (3)

formule qui, bien que moins générale que la précédente, l’est pourtant encore beaucoup, puisque la forme de la fonction $p$ et la nature des caractéristiques $\bigtriangledown ,\Gamma$ demeurent tout-à-fait indéterminées.

Pour indiquer une application très-intéressante de la précédente, soit

$\psi (u)=p,$

une équation du premier degré aux différences ou aux différentielles totales ou partielles, ou même aux différences mêlées, de laquelle il soit question de tirer la valeur de $u\,;$ en supposant d’ailleurs que $\psi$ soit une caractéristique de fonction de nature distributive. Soit $\bigtriangledown$ une autre caractéristique de même genre, on aura l’identité

$\bigtriangledown u=p+\bigtriangledown u-\psi u\,;$

donc, en posant