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DÉVELOPPEMENT

$(\Lambda \Gamma \bigtriangledown )^{2}u,\qquad (\Lambda \Gamma \bigtriangledown )^{3}u,\ldots$

et ainsi de suite, quel que pût être d’ailleurs le nombre des caractéristiques périodiquement entremêlées.

Nous admettrons encore des symboles de dérivées de la forme

$\bigtriangledown ^{-1}u,\quad \bigtriangledown ^{-2}u,\quad \bigtriangledown ^{-3}u,\quad \bigtriangledown ^{-4}u,\ldots$

dont la définition générale est donnée par l’équation

$\bigtriangledown ^{n}\bigtriangledown ^{-n}u=u.$

Ce sont des dérivées inverses ou d’ordre négatif.

Si, par exemple, le mode de dérivation désigné par la caractéristique $\bigtriangledown$ consiste à changer $x$ en $\operatorname {Log} .x,$ le mode de dérivation désigné par la caractéristique $\bigtriangledown ^{-1}$ devra consister à changer $x$ en $e^{x}\,;$ car on a $\operatorname {Log} .e^{x}=x.$ Pareillement, si le mode de dérivation désigné par la caractéristique $\bigtriangledown$ consiste à changer $x$ en $\operatorname {Tang} .x,$ le mode de dérivation désigné par la caractéristique $\bigtriangledown ^{-1}$ devra consister à changer $x$ en $\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} .=x),$ puisque $\operatorname {Tang} .\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} .=x)=x\,;$ et ainsi de suite.

Si le mode de dérivation, désigné par la caractéristique $\bigtriangledown ,$ est tel qu’un même résultat $\bigtriangledown ^{n}u$ ne puisse être dérivé que d’une seule fonction primitive $u,$ on devra alors avoir évidemment

$\bigtriangledown ^{-n}\bigtriangledown ^{n}u=u\,;$

mais il n’en serait plus de même si plusieurs sujets différens pouvaient conduire à un seul et même résultat. Dans ce cas, $u$ serait bien une valeur particulière de la fonction $\bigtriangledown ^{-n}\bigtriangledown ^{n}u\,;$ mais elle n’en serait qu’une valeur particulière.

Que, par exemple, le mode de dérivation, désigné par la caractéristique $\bigtriangledown ,$ consiste à changer d’abord $x$ en $x^{n+1},$ et à