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FONCTIONS.

résultat sera $\Lambda \Gamma \bigtriangledown u\,;$ et ainsi de suite, quel que soit le nombre des dérivations successives, semblables ou dissemblables, que l’on se propose d’effectuer sur la fonction $u.$

Que, par exemple, pour nous borner au cas le plus simple, on ait $u={\frac {a-x}{a+x}},$ que le mode de dérivation désigné par $\bigtriangledown$ consiste à changer $x$ en $x+a,$ et que le mode de dérivation désigné par $\Gamma$ consiste à changer x en ${\frac {x^{2}}{a}};$ nous aurons d’abord $\bigtriangledown u=-{\frac {x}{2a+x}},$ et ensuite $\Gamma \bigtriangledown u=-{\frac {x^{2}}{2a^{2}+x^{2}}}.$ Dans la même hypothèse, on trouverait $\bigtriangledown \Gamma u=-{\frac {2ax+x^{2}}{2a^{2}+2ax+x^{2}}}.$

On voit, d’après cela, qu’on peut souvent être conduit à des expressions de la forme

$\bigtriangledown \bigtriangledown u,\quad \bigtriangledown \bigtriangledown \bigtriangledown u,\quad \bigtriangledown \bigtriangledown \bigtriangledown \bigtriangledown u,\ldots$

et alors nous convenons, pour abréger, de considérer comme leur étant équivalentes les expressions

$\bigtriangledown ^{2}u,\quad \bigtriangledown ^{3}u,\quad \bigtriangledown ^{4}u,\ldots$

De même, si nous rencontrons des expressions de cette forme

$\Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown u,\quad \Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown u,\quad \Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown u,\ldots$

nous les remplacerons par

$(\Gamma \bigtriangledown )^{2}u,\quad (\Gamma \bigtriangledown )^{3}u,\quad (\Gamma \bigtriangledown )^{4}u,\ldots$

nous remplacerions de même les expressions

$\Lambda \Gamma \bigtriangledown \Lambda \Gamma \bigtriangledown u,\quad \Lambda \Gamma \bigtriangledown \Lambda \Gamma \bigtriangledown \Lambda \Gamma \bigtriangledown u,\ldots$

par