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INSCRIT.

$\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\left\{(a,d)+(b,c)\right\}=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\left\{(a,b)+(c,d)\right\}=-{\sqrt {\frac {N}{P}}}\,;$

et, par conséquent

$(a,d)+(b,c)=(a,b)+(c,d)\,;$

c’est-à-dire que, dans tout quadrilatère sphérique inscrit, la somme de deux angles opposés est égale à la somme des deux autres angles ; propriété que le quadrilatère rectiligne inscrit partage, au surplus, avec le quadrilatère sphérique, avec cette différence seulement que, dans le premier, ces deux sommes sont constantes, tandis que, dans ce dernier, au contraire, elles sont variables.

Si l’on désigne par $Q$ l’aire du quadrilatère, l’aire du triangle sphérique trirectangle étant prise pour unité, on aura, comme l’on sait,

$Q=(a,b)+(b,c)+(c,d)+(a,d)-2\varpi ,$

ou bien, par ce qui vient d’être dit,

$Q=2\left\{(a,d)+(b,c)-\varpi \right\}\,;$

donc

${\begin{array}{rll}\operatorname {Sin} .{\frac {1}{4}}Q&=-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\left\{(a,d)+(b,c)\right\}&={\sqrt {\frac {N}{P}}},\\\\\operatorname {Cos} .{\frac {1}{4}}Q&=+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\left\{(a,d)+(b,c)\right\}&={\sqrt {\frac {M}{P}}},\end{array}}$

et de là encore

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}Q=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{4}}Q\operatorname {Cos} .{\frac {1}{4}}Q={\frac {2{\sqrt {MN}}}{P}},$

$\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}Q={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{4}}Q}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{4}}Q}}={\sqrt {\frac {N}{M}}}\,;\qquad$(IV)

fonctions qui sont toutes symétriques.

Si l’on suppose $d=0,$ le quadrilatère devient un triangle ; de sorte qu’en représentant par $T$ l’aire du triangle sphérique dont les trois côtés sont $a,b,c$ on a