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PARALLÉLOGRAMME DES FORCES.

l’autre ; et que nous avons déjà vue représenter leur résultante en intensité, représente également cette résultante en direction.

Il est d’ailleurs connu que le théorème une fois démontré pour deux composantes rectangulaires, rien n’est plus facile que de l’étendre à deux composantes formant entre elles un angle quelconque.

Au lieu de considérer à la fois les deux fonctions $\psi (\nu +z)$ et $\psi (\nu -z),$ on peut n’en considérer qu’une seule, en égalant à zéro soit la somme, soit la différence des dérivées, prises successivement par rapport à $z$ et $\nu ,$ du second membre de l’une ou de l’autre des équations (3, 6), suivant celle qu’on voudra employer ; chassant alors $\psi '(\nu )$ et $\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)$ de l’équation résultante, au moyen des dérivées des deux équations

$\left[\psi (z)\right]^{2}+\left[\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\right]^{2}=1,\qquad \left[\psi (\nu )\right]^{2}+\left[\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)\right]^{2}=1,$

on obtiendra ; comme ci-dessus,

${\frac {\psi '(z)}{\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)}}={\frac {\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)}{\psi (\nu )}}.$

Si l’on ajoute membre à membre, les deux équations (3, 6} il viendra

$\psi (\nu +z)+\psi (\nu -z)=2\psi (\nu )\psi (z).$

Développant le premier membre suivant les puissances de $z,$ et divisant par $2\psi (z),$ on trouvera pour résultat final, sans le secours de l’intégration, et par un calcul très-simple que l’on peut voir à la page 14 du 1.^er volume de la Mécanique de M. Poisson, $\psi (z)=\operatorname {Cos} .z.$