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PARALLÉLOGRAMME

développement de leurs seconds membres, les coefficiens des diverses puissances de $i$ soient séparément nuls ; ou, en d’autres termes, il faut que la somme des dérivées partielles du second membre de l’équation (3), et que la différence de celles du second membre de l’équation (6), prises par rapport à $\nu$ et $z,$ soient égales à zéro ; ce qui donne

$\psi (\nu )\psi '(z)+\psi (z)\psi '(\nu )-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)=0,$

$\psi (\nu )\psi '(z)-\psi (z)\psi '(\nu )+\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)=0,$

d’où, en prenant la demi-somme,

$\psi (\nu )\psi '(z)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)=0.$^[1]

ou bien

${\frac {\psi (z)}{\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)}}={\frac {\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)}{\psi (\nu )}}.$

1. Si, dans cette équation, on fait $\nu =z,$ elle devient
   $\psi (z)\psi '(z)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\psi '\left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)=0.$

   qui donne

   $\left[\psi (z)\right]^{2}+\left[\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right)\right]^{2}=k.$

   On trouve ensuite $k=1,$ ce qui ramène encore à l’équation (5).