problème, assujettir les mouvemens de la chaîne à n’avoir lieu que dans un tel plan, ce qui réduit la question à un problème de géométrie plane.
III. Concevons que la pesanteur agisse dans le sens de ce plan ; et que la chaîne soit abandonnée à sa seule action ; elle prendra une courbure déterminée qui sera celle de la chaînette. Si la direction de la pesanteur change sans cesse d’agir dans le même plan, la chaîne prendra une nouvelle courbure déterminée, différente de la première, mais qui sera toujours une chaînette ; et si l’on fait ainsi varier d’une infinité de manières la direction de la pesanteur, dans le plan dont il s’agit, on obtiendra sur ce plan une infinité de chaînettes différentes, dont chacune aura son centre de gravité particulier ; or, je dis que le lieu des centres de gravité de toutes ces courbes sera précisément la courbe demandée.
En effet, il est d’abord évident, par la nature du problème, qu’aucun des points de la courbe demandée ne saurait être intérieur à celle-là, puisqu’alors il se trouverait telle situation de la chaîne où le lieu de son centre de gravité ne se trouverait pas enveloppé par cette courbe ; tout se réduit donc à prouver qu’aucun point de la courbe demandée ne peut être extérieur à la même courbe.
Or, soient (fig. 2) les points de suspension de la chaîne et le lieu des centres de gravité des chaînettes. Si l’un des points de la courbe cherchée pouvait se trouver hors de on pourrait toujours assigner une direction de la pesanteur telle que le centre de gravité de la chaînette répondant à cette direction et le point se trouvassent dans une même verticale ; il armerait donc alors qu’il y aurait une figure à donner à la chaîne, par suite de laquelle son centre de gravité se trouverait plus bas que le centre de gravité de la chaînette correspondante, tandis qu’au contraire il est connu que le centre de gravité de cette dernière est le plus bas possible.
Ainsi, notre problème se trouve ramené à celui-ci : Une chaîne uniformément pesante étant fixée par ses deux extrémités à deux
