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DÉFINIES.

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b^{2}}}=0\,;$

équation dont l’intégrale est, en général,

$y=\phi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right),$

ainsi qu’on peut s’en convaincre par la différentiation et l’élimination des fonctions arbitraires. De là on tire

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}=\left\{\phi '\left(b+a{\sqrt {-1}}\right)-\psi '\left(b-a{\sqrt {-1}}\right)\right\}\,;$

valeur qui se réduit à

$\left\{\phi '(b)-\psi '(b)\right\}{\sqrt {-1}},$

lorsqu’on suppose $a=0\,;$ mais la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}$ déterminée ci-dessus prouve que, dans la même circonstance, ce coefficient différentiel doit s’évanouir ; donc

$\phi '(b)=\psi '(b),\quad$d’où$\quad \phi (b)=\psi (b),$

et, par suite,

$y=\phi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\phi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right).$

En posant ici $a=0,$ il vient

$y=2\phi (b)\,;$

et, d’un autre côté, on doit avoir, dans le même cas,

$y=\int e^{-bx}X\operatorname {d} x\,;$