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DES SECTIONS CONIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

1.^o Qu’elle est satisfaite en posant, à la fois, $x=0,\ y=0;$ d’où il suit que les deux courbes passent également par l’origine ou sommet de l’angle des deux tangentes données.

2.^o Qu’elle est encore satisfaite en posant, à la fois, $x={\frac {1}{2}}(a+a'),$$y={\frac {1}{2}}(b+b')\,;$ ce qui nous apprend que les deux courbes passent encore par le milieu de l’intervalle qui sépare les deux points donnés.

3.^o Enfin qu’elle est également satisfaite en posant à la fois

$x=-{\frac {ab'-ba'}{2(b-b')}},\qquad y=+{\frac {ab'-ba'}{2(a-a')}}\,;$

ce qui montre que les deux courbes passent aussi par le milieu du segment de la droite qui passe par les points donnés intercepté entre les deux droites données.

4.^o Si, dans la vue de déterminer la situation des centres des deux courbes, on égale successivement à zéro les dérivées de leur double équation, prises par rapport à $x$ et $y,$ il viendra

$(b+b')\left\{2(a-a')^{2}(b+b')\left[(b+b')x-(a+a')y\right]-2M\left[4x-(a+a')\right]\right\}{\sqrt {bb'}}$

$=\pm 2(a+a')(b+b')(b-b')^{2}\left[(b+b')x-(a+a')y\right]{\sqrt {aa'}},$

$\pm (a+a')\left\{2(b-b')^{2}(a+a')\left[(b+b')x-(a+a')y\right]-2M\left[4y-(b+b')\right]\right\}{\sqrt {aa'}}$

$=2(a+a')(b+b')(b-b')^{2}\left[(b+b')x-(a+a')y\right]{\sqrt {bb'}}$

Or, ces deux équations sont évidemment satisfaites en posant, à la fois,

$x={\frac {1}{4}}(a+a'),\qquad y={\frac {1}{4}}(b+b')\,;$

donc nos deux courbes ont pour centre commun le milieu de la