droite quelconque, et passant en outre par un même point, aussi donné de position ».
Or, on voit que, tandis que, dans la première question posée ci-dessus, la suite des centres des cercles se trouvait sur deux droites distinctes ; ici, au contraire, la suite de ces mêmes centres est sur une parabole ayant le point donné pour foyer, et la droite tangente aux cercles pour directrice ; de sorte que tous ces cercles ne forment qu’une seule et unique série, non décomposable en deux autres distinctes, une section conique quelconque pouvant être considérée comme représentant le système de deux lignes droites non séparables ; il est donc naturel de croire que, lorsque le centre du cercle variable que l’on considère parcourt une parabole, le lieu des pôles de la droite donnée n’est plus simplement le système de deux sections coniques distinctes, mais une courbe essentiellement du quatrième degré.
Au reste, quand le point, par lequel passent tous les cercles, est sur la tangente commune donnée, c’est-à-dire, quand le foyer de la parabole est sur la directrice, cette parabole se confond doublement avec son axe, et la question revient à se demander « le lieu des pôles d’une droite donnée, sur le plan d’une suite de cercles ayant un point de contact commun, ou, plus généralement, ayant une sécante commune ». Or, il est facile de prouver, soit géométriquement, soit d’une manière algébrique, qu’alors le lieu des pôles est une section conique, comme cela a été établi, page 395 du volume déjà cité des Annales.
Il résulte aussi de cette dernière remarque que le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par quatre points donnés sur un plan est également une autre section conique, passant d’ailleurs par les points de concours des deux diagonales et des directions des côtés opposés du quadrilatère qui a pour ses sommets les quatre points dont il s’agit ; proposition qui a été énoncée à la page 219 du tome XI.e des Annales, et démontrée algébriquement à la page 396 du même volume.
