l’une ou de l’autre séries de sections coniques proposées. Supposons, pour plus de simplicité, qu’on ne considère que celles dont les cordes de contact avec la droite donnée passent toutes par le point fixe D’après ce qui précède, ces hyperboles devront avoir leur centre quelque part, sur une section conique, passant par ayant la droite pour diamètre et pour tangente à l’extrémité de ce diamètre ; de telle sorte que la parallèle à est la tangente à l’autre extrémité de ce diamètre. Pour résoudre entièrement la question, il ne s’agit donc plus que de trouver une autre ligne qui renferme également les centres des hyperboles équilatères ; car on aura tout ce qu’il faut pour les déterminer d’une manière complète[1].
Nous avons vu ci-dessus que la droite n’était autre chose que la polaire du point par rapport à toutes les sections coniques passant par et touchant les deux droites données, donc elle est aussi la polaire de ce point par rapport à chacune des hyperboles que l’on cherche ; mais, d’un autre côté, est le point milieu de la corde commune à ces hyperboles ; donc
« Si, par chacun des points on mène une parallèle à la polaire ou à la corde qui passe par l’autre, le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se coupent les parallèles, passera aussi par le centre des hyperboles cherchées[2]. »
Il résulte évidemment de là que le cercle qui passe par et et touche la parallèle à la polaire de doit renfermer les centres des hyperboles équilatères cherchées ; de sorte que ces centres doivent se trouver à l’intersection de ce cercle et de la section conique déjà construite, et qui a pour tangente commune avec lui au point
