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RECHERCHE DU CENTRE

$4(b-b')^{2}\left\{(b+b')+(a+a'){\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}x^{2}$

$+4(a-a')^{2}\left\{(b+b')+(a+a'){\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}y^{2}$

$-8\left\{(a+a')(b-b')^{2}+(b+b')(a-a')^{2}{\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}xy$

$+2\left\{(a-a')^{2}(b+b')^{2}-(a+a')^{2}(b-b')^{2}\right\}{\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}x$

$-2\left\{(a-a')^{2}(b+b')^{2}-(a+a')^{2}(b-b')^{2}\right\}y=0\,;$

et

$4(b-b')^{2}\left\{(b+b')-(a+a'){\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}x^{2}$

$+4(a-a')^{2}\left\{(b+b')-(a+a'){\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}y^{2}$

$-8\left\{(a+a')(b-b')^{2}-(b+b')(a-a')^{2}{\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}\right\}xy$

$-2\left\{(a-a')^{2}(b+b')^{2}-(a+a')^{2}(b-b')^{2}\right\}{\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}x$

$-2\left\{(a-a')^{2}(b+b')^{2}-(a+a')^{2}(b-b')^{2}\right\}y=0\,;$

Pour rapprocher ces résultats de ceux obtenus à l’endroit déjà cité, il ne s’agit plus que de multiplier entre elles les deux équations qui précèdent ; car, si tout est exact de part et d’autre, on devra obtenir une équation du quatrième degré qui ne pourra différer au plus que par un facteur fonction des données de celle à laquelle on est parvenu au même endroit. Cette opération est nécessairement très-longue et très-laborieuse ; néanmoins nous avons eu le courage de l’entreprendre, et le plaisir d’en voir ressortir une vérification complète des raisonnemens géométriques qui précèdent, et qui s’étendent, comme on le voit, au cas où les points donnés sont imaginaires, et où la droite ${\rm {XY,}}$ qui passe par ces points, est par conséquent une sécante idéale, commune à toutes les sections coniques proposées.

En multipliant, en effet, nos deux équations entre elles, développant et observant que les diverses fonctions