l’ellipsoïde, se réduit à construire un tétraèdre inscrit qui jouisse de cette propriété, et à prendre ensuite les sommets de celui-ci pour points de contact des faces de l’autre ; et il est même aisé de voir que ces points de contact seront en même temps les centres de gravité respectifs des aires des faces auxquelles ils appartiendront. Or, comme le tétraèdre inscrit peut être construit d’une infinité de manières différentes, il doit en être de même du tétraèdre circonscrit.
5.o Il est connu que, lorsque deux tétraèdres sont circonscrits l’un à l’autre, de manière que les faces correspondantes soient parallèles, le volume du circonscrit est fois plus grand que celui de l’inscrit ; donc chacun des tétraèdres circonscrits à l’ellipsoïde de manière que leur centre de gravité coïncide avec le centre de cette surface, est fois plus grand que l’inscrit qui lui correspond ; puis donc que le volume de ce dernier est constant, le volume du premier doit l’être aussi.
6.o Il reste à prouver que le tétraèdre circonscrit dont le centre de gravité coïncide avec le centre de l’ellipsoïde ou, ce qui revient au même, qui touche l’ellipsoïde aux centres de gravité des aires de ses faces, est le tétraèdre minimum, parmi tous ceux qui peuvent être circonscrits à cet ellipsoïde. Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi ; il faudra admettre que, dans le tétraèdre circonscrit minimum, une des faces, au moins, n’a pas son point de contact à son centre de gravité. Or, si l’on circonscrit à l’ellipsoïde une surface conique qui ait pour sommet le sommet opposé, la section de cette surface conique par le plan de la face dont il s’agit sera une ellipse à laquelle cette face sera circonscrite. Il faudra donc que cette même face soit le triangle minimum circonscrit à l’ellipse, puisque, dans le cas contraire, en lui substituant le triangle minimun, on formerait un nouveau tétraèdre circonscrit, de même hauteur que le premier, mais d’une base plus petite, et conséquement d’un moindre volume. Il faut donc que le centre de gravité de l’aire du triangle coïncide avec le centre de l’ellipse, ce
