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INTÉGRALES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\int e^{-t^{2}-{\frac {n^{2}}{t^{2}}}}\operatorname {d} t={\frac {\sqrt {\varpi }}{2}}e^{-2n}.$

Mais, une des conséquences les plus générales du théorème de M. Fourier, est celle par laquelle on fait dépendre une série ${\rm {S}}.y_{x}\operatorname {F} (x)$ d’une autre de la forme ${\rm {S}}.y_{x}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .\\&\operatorname {Cos} .\end{aligned}}nx.$ En effet, si l’on fait

$P=y_{0}+y_{1}\operatorname {Cos} .u+y_{2}\operatorname {Cos} .2u+\ldots$

on voit que

${\frac {2}{\varpi }}\iint \operatorname {F} (x)\operatorname {Cos} .xuP\operatorname {d} x\operatorname {d} u=y_{0}\operatorname {F} (0)+y_{1}\operatorname {F} (1)+y_{2}\operatorname {F} (2)+\ldots ,$

or, nous avons vu que, par le théorème de Parseval, on fait dépendre cette série des deux suivantes

${\begin{aligned}&y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+y_{3}t^{3}+\ldots ,\\&\operatorname {F} (0)+\operatorname {F} (1)t+\operatorname {F} (2)t^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}$

mais l’introduction des imaginaires rend, en général, la première de ces deux méthodes préférable à la seconde, dans tous les cas où la quantité $P$ en est débarrassée ; comme, par exemple, lorsque les quantités $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$ forment une suite de puissances.

Les recherches que je viens d’exposer me paraissent donner les développemens nécessaires au principe général que j’ai présenté au commencement de ce mémoire. On en déduit une infinité d’autres, en répétant et combinant les différentes opérations qu’on y trouve exposées, et sur-tout en différenciant et intégrant par rapport à de nouvelles variables.