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INTÉGRALES

D’abord, on peut donner à cette quantité une forme beaucoup plus commode, en changeant les différences finies en des différentielles : c’est ce qu’on fait en supposant

$x={\frac {x'}{\operatorname {d} x'}},\ n={\frac {n'}{\operatorname {d} x'}},\ u=u'\operatorname {d} x',\ y_{x}=\operatorname {f} (x'),\ y=\operatorname {f} (n')\,;$

et effaçant ensuite les accens. Ou trouve ainsi

$\operatorname {f} (n)={\frac {1}{\varpi }}\int \operatorname {d} x\int \operatorname {d} u\operatorname {f} (x)\operatorname {Cos} .(n-x)u.\qquad \left({\begin{array}{ll}u=0,&x=0\\u=\infty ,&x=\infty \end{array}}\right)$

Observant de même que

$0={\rm {S}}.y_{x}\int \operatorname {Cos} .(n+x)u\operatorname {d} u\,;\qquad \left({\begin{aligned}&u=0\\&u=\varpi \end{aligned}}\right)$

le signe ${\rm {S}}$ s’étendant depuis $0$ jusqu’à $\infty ,$ d’où

$0=\int \operatorname {d} x\int \operatorname {d} u\operatorname {f} (x)\operatorname {Cos} .(x+n)u,\qquad \left({\begin{array}{ll}u=0,&x=0\\u=\infty ,&x=\infty \end{array}}\right)$

on en tire les deux équations

${\begin{aligned}&{\frac {\varpi }{2}}\operatorname {f} (n)=\int \int \operatorname {d} x\operatorname {d} u\operatorname {f} (x)\operatorname {Cos} .nu\operatorname {Cos} .xu,\\\\&{\frac {\varpi }{2}}\operatorname {f} (n)=\int \int \operatorname {d} x\operatorname {d} u\operatorname {f} (x)\operatorname {Sin} .nu\operatorname {Sin} .xu,\end{aligned}}$

qui sont dues à M. Fourier. Parmi un grand nombre de conséquences importantes qu’offre ce beau théorème, je vais rappeler quelques-unes des formules les plus simples et les plus remarquables de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont obtenues par d’autres voies.

Faisant, par exemple, $\operatorname {f} (x)=e^{-ax},$ on trouve