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DÉFINIES.

$A_{0}+{\frac {2}{1}}A_{2}+{\frac {4.3}{1.2}}A_{4}+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}A_{6}+\ldots ={\frac {1}{\varpi }}\int \operatorname {f} (2\operatorname {Cos} .u)\operatorname {d} u.$

Dans le cas particulier où la fonction $\operatorname {f} (t,v),$ que nous avons considérée plus haut, a la forme $\psi (t)\times \phi (u),$ en supposant

$\psi (t)=\mathrm {S} .A_{m}t^{m},\qquad \phi (v)=\mathrm {S} .B_{m}v^{m},$

on aura

$\mathrm {S} .A_{m}B_{m}\quad$ou$\quad A_{0}B_{0}+A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}+\ldots$

${\frac {1}{2\varpi }}\int \left[\phi \left(e^{+u{\sqrt {-1}}}\right)\psi \left(e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)+\phi \left(e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)\psi \left(e^{+u{\sqrt {-1}}}\right)\right]\operatorname {d} u,\quad (a)$

c’est le théorème de Parseval.

Le cas le plus étendu où les imaginaires disparaissent étant déterminé par la condition $\operatorname {f} (v,t)=\operatorname {f} (v+t),$ on a ici la condition

$\operatorname {f} (v+t)=\phi (v)+\psi (t)=\phi (t)+\psi (v),$

de laquelle on déduit facilement que les fonctions $\operatorname {f} ,\phi ,\psi$ doivent avoir la forme exponentielle. En effet, on a, dans ce cas, la formule connue

${\frac {1}{\varpi }}\int e^{2\operatorname {Cos} .u}\operatorname {d} u=1+\left({\frac {1}{1}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{1.2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{1.2.3}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{1.2.3.4}}\right)^{2}+\ldots ,$

que l’on pourrait aussi déduire de la formule $(a)$ en y faisant $\operatorname {f} (2\operatorname {Cos} .u)=e^{2\operatorname {Cos} .u}.$

Considérons présentement la seconde valeur de $y_{n},$ savoir

${\frac {1}{\varpi }}\mathrm {S} .y_{x}\int \operatorname {Cos} .(n-x)u\operatorname {d} u,\qquad \left({\begin{aligned}&u=0\\&u=\varpi \end{aligned}}\right)$

le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à tous les nombres entiers, depuis $0$ jusqu’à $\infty .$