Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/224

218

INTÉGRALES

L’introduction des imaginaires dans les intégrales comportant de grandes difficultés, relativement à l’évaluation ; il est intéressant de discuter le cas le plus étendu où il serait possible de les faire disparaître ; c’est-à-dire, où les exponentiels imaginaires pourraient se réduire en des cosinus ou sinus réels. On voit que cela ne peut avoir lieu que lorsque $\operatorname {f} (t,v)$ a la forme $\operatorname {f} (t+v)$ où $v={\frac {1}{t}}\,;$ et dans ce cas, on trouve pour le coefficient de $t^{n}$

${\frac {1}{2\varpi }}\int \left(e^{+nu{\sqrt {-1}}}+e^{-nu{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {f} \left(e^{+u{\sqrt {-1}}}+e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} u$

$={\frac {1}{\varpi }}\int \operatorname {Cos} .nu.\operatorname {f} (2\operatorname {Cos} .u)\operatorname {d} u.$

Soit, par exemple,

$\operatorname {f} (t+v)=A_{0}+A_{1}(t+v)^{m}+A_{2}(t+v)^{2m}+\ldots$

on aura, en multipliant par $(t+v)^{n},$ faisant $v={\frac {1}{t}}$ et prenant la partie indépendante de $t$ dans la supposition de $m$ et $n$ pairs, attendu que, pour qu’elle ne soit pas nulle, il faut qu’une partie des nombres $n,n+m,n+2m,$$n+3m,\ldots$ soient pairs. On aura ainsi

${\frac {n(n-1)\ldots \left({\frac {n}{2}}+1\right)}{1.2\ldots {\frac {n}{2}}}}A_{0}+{\frac {(n+m)\ldots \left({\frac {n+m}{2}}+1\right)}{1\ldots {\frac {n+m}{2}}}}A_{1}+$

${\frac {(n-2m)\ldots \left({\frac {n+2m}{2}}+1\right)}{1\ldots {\frac {n+2m}{2}}}}A_{2}+\ldots ={\frac {1}{2\varpi }}\int \operatorname {Cos} .nu\operatorname {f} (2\operatorname {Cos} .u)\operatorname {d} u.$

Si l’on avait fait $m=1$ et $n=0,$ on aurait eu