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INTÉGRALES

nous occupe, que des séries à simple entrée, il faudra faire $m=1\,;$ c’est-à-dire, ne prendre pour $U_{1}$ et $U$ que des valeurs de la forme $\left(1\pm bu{\sqrt {-1}}\right)^{p}\,;$ d’où l’on peut toujours former des quantités réelles, en réunissant deux séries où les signes soient différens.

Faisant

$U_{1}=\left(1\pm bu{\sqrt {-1}}\right)^{\delta },\qquad U=\left(1\pm bu{\sqrt {-1}}\right)^{\beta },$

on aura

${\frac {1}{2}}\int \left\{\left(1+bu{\sqrt {-1}}\right)^{\delta }\operatorname {F} \left[\left(1+bu{\sqrt {-1}}\right)^{\beta }\right]+\left(1-bu{\sqrt {-1}}\right)^{\delta }\operatorname {F} \left[\left(1-bu{\sqrt {-1}}\right)^{\beta }\right]\right\}\operatorname {d} u=$

${\rm {S}}.y_{x}.{\frac {\left(1+bu{\sqrt {-1}}\right)^{\delta +\beta x+1}-\left(1-bu{\sqrt {-1}}\right)^{\delta +\beta x+1}}{2b(\delta +\beta x+1){\sqrt {-1}}}}$

entre des limites quelconques ; et, à moins que celles-ci ne rendent des termes infinis, on peut étendre le signe ${\rm {S}}$ à tous les nombres entiers, soit positifs, soit négatifs. Il est facile d’ailleurs de ramener cette dernière expression à une forme réelle, comme nous l’avons déjà fait plus haut. Cependant, ces formes ne mènent à des résultats élégans que lorsque les puissances se changent en exponentiels, et, si l’on fait

$U=e^{\pm u{\sqrt {-1}}},\qquad U_{1}=e^{\mp nu{\sqrt {-1}}},$

on aura

${\frac {1}{2}}\int \left[e^{-nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {F} \left(e^{+u{\sqrt {-1}}}\right)+e^{+nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {F} \left(e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)\right]\operatorname {d} u=$

${\rm {S}}.y_{x}\int {\frac {e^{(x-n)u{\sqrt {-1}}}+e^{(n-x)u{\sqrt {-1}}}}{2}}\operatorname {d} u={\rm {S}}.y_{x}\int \operatorname {\operatorname {Cos} } .(x-n)u.\operatorname {d} u.$

En assignant à $u$ les limites $0$ et $\varpi ,$ on réduit la dernière expression à $\varpi y_{n},$ si l’on suppose qu’aucune des valeurs de $x,$ depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty ,$ ne rend $y_{x}$ infini.

On a ainsi, pour la même quantité $y_{x}$ deux transformations