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DÉFINIES.

En effet, l’on trouve, par un procédé que j’ai exposé ailleurs (Annales, tom. XI) pour la valeur complète de $y,$ un nombre $n+1$ de séries, dont chacune présente un nombre de constantes égal à celui des quantités $m_{1},m_{2},\ldots p_{1},p_{2},\ldots .$ Quant à la fonction $\operatorname {f} (u^{\varepsilon },$ on trouve que, pour ce cas, elle prend la forme ${\frac {1}{1-\delta u^{\varepsilon }}},$ les quantités $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots$ devant être de simples puissances d’une constante $\delta .$

Nous avons uniquement considéré le cas où l’intégrale

$\int \left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {F} (u)\operatorname {d} u$

se ramène à une seule série, pour des valeurs quelconques de $n,$ et nous allons maintenant discuter les simplifications que comportent des valeurs particulières de cette quantité. D’abord, il est facile de voir que, lorsque $n=1,$ on n’aura jamais qu’une seule série pour l’intégrale proposée ; mais il est encore possible d’y ramener le cas où $n=2.$ En effet, si l’on observe que l’intégrale

$\int \left(1-au^{2}\right)^{p}u\operatorname {d} u,$

prise depuis $u=-{\sqrt {\frac {1}{a}}}$ jusqu’à $u=+{\sqrt {\frac {1}{a}}}$ est $=0,$ on verra que la valeur de

$\int \left(1-au^{2}\right)^{p}\operatorname {F} (u)\operatorname {d} u$

se réduit à la seule série

$\left\{y_{0}+{\tfrac {1}{a(3+2p)}}y_{2}+{\tfrac {1.3}{a^{2}(3+2p)(5+2p)}}y_{4}+\ldots \int \left(1-au^{2}\right)^{p}\operatorname {d} u,\right\}\left\{{\begin{aligned}&u=-{\sqrt {\frac {1}{a}}}\\\\&u=+{\sqrt {\frac {1}{a}}}\end{aligned}}\right\}$

Si l’on suppose $a={\frac {a}{b}}$ et $p=\infty ,$ on a la formule par laquelle M. Laplace a présenté, sous forme finie, l’intégrale de l’équation