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INTÉGRALES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Ces $n$ suites infinies se réduisent à une seule, dans le cas où la fonction $\operatorname {F} (t)$ ne contient que les puissances de $t^{x}\,;$ car, en faisant $\operatorname {F} (t)=\operatorname {f} (t^{n})={\rm {S}}.v_{x}t^{xn},$ on aura

$\int \left(1-au^{n}\right)^{p}u^{q}\operatorname {f} \left(u^{n}\right)\operatorname {d} u={\rm {S}}.v_{x}\int \left(1-au^{n}\right)^{p}u^{q+nx}\operatorname {d} u$

$={\rm {S}}.v_{x}.{\frac {q(q+n)\ldots \left[q+(x-1)n\right]}{a^{x}\left[q+(p+1)n\right]\ldots \left[q+(p+x)n\right]}}\int \left(1-au^{n}\right)^{p}u^{q}\operatorname {d} u.$

Pouvant répéter ces opérations tant de fois qu’on voudra, on formera facilement l’équation

${\frac {\int ^{n}\left(1-au^{\varepsilon n}\right)^{\frac {P_{n}}{\varepsilon }}u_{n}^{m_{n}-1}\ldots \left(1-au_{2}^{\varepsilon }\right)^{\frac {P_{2}}{\varepsilon }}u_{2}^{m_{2}-1}\left(1-au_{1}^{\varepsilon }\right)^{\frac {P_{1}}{\varepsilon }}u_{1}^{m_{1}-1}\operatorname {f} \left(u_{n}^{\varepsilon },u_{n-1}^{\varepsilon },\ldots u_{1}^{\varepsilon }\right)\operatorname {d} u_{x}\ldots \operatorname {d} u_{1}}{T_{n}\ldots T_{2}.T_{1}}}$

$={\rm {S}}.{\frac {m_{1}m_{2}\ldots m_{n}.(m_{n}+\varepsilon )\ldots (m_{n}+\varepsilon )\ldots \left[m_{1}+(x-1)\varepsilon \right]\ldots \left[m_{n}+(x-1)\varepsilon \right]}{a^{nx}\left(m_{1}+p_{1}+\varepsilon \right)\ldots \left(m_{n}+p_{n}+\varepsilon \right)\ldots \left(m_{1}+p_{1}+x\varepsilon \right)\ldots \left(m_{n}+p_{n}+x\varepsilon \right)}}$

Les qualités $\varepsilon ,m_{1},m_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots$ étant des constantes quelconques, assujetties à la seule condition de ne pas rendre les intégrales infinies entre les limites assignées ; et chacune des quantités $T_{1},T_{2},\ldots$ ayant la forme

$T_{r}=\int \left(1-au_{r}^{\varepsilon }\right)^{\frac {P_{r}}{\varepsilon }}u_{r}^{m_{r}-1}\operatorname {d} u_{r}\,;$

toutes ces intégrales étant prises d’ailleurs entre les limites $0$ et ${\sqrt[{\varepsilon }]{\frac {1}{a}}}.$

On trouve facilement que cette formule donne, sous forme finie, l’intégrale de l’équation

${\frac {A_{0}+B_{0}x^{\varepsilon }}{1}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+{\frac {A_{1}+B_{1}x^{\varepsilon }}{x}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+\ldots +{\frac {A_{n}+B_{n}x^{\varepsilon }}{x^{n}}}.y=\alpha x^{\beta }.$