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INTÉGRALES

$y_{x}={\frac {\left(-a^{x}\right)^{x}}{1.2.3\ldots x}}$ fait la première égale à $\operatorname {Cos} .a,$ et celle de $U=u^{2},$$U_{1}=e^{-a^{x}}$ fait la seconde égale à ${\frac {\sqrt {\varpi }}{2}}.e^{-{\frac {u}{4}}}.$ Cependant, il faut encore, dans cette partie, remarquer des formes fondamentales, d’où dépendent un grand nombre de formes secondaires plus ou moins élégantes, telles sont, par exemple,

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .mu}{n^{2}+u^{2}}}\operatorname {d} u,\qquad \int u^{a}e^{-u}\operatorname {Cos} .mu.\operatorname {d} u,\quad$etc.

qu’on a trouvées par la rédaction à des équations différentielles, par le passage du réel à l’imaginaire, etc. Nous aurons soin de les exposer, comme des corollaires de la formule générale

$\int U_{1}\operatorname {F} (U)\operatorname {d} u={\rm {S}}y_{x}\int U_{1}U^{x}\operatorname {d} u\,;$

et ne supposant pas $U_{l}$ et $U$ des fonctions plus générales que le binôme, nous rappellerons seulement la formule connue

$\int u^{m-1}\operatorname {d} u\left(1-au^{n}\right)^{p}=u^{m-n}\left(1-au^{n}\right)+{\frac {m-n}{a(m+np)}}\int u^{m-n-1}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u\,;$

d’où on tire, en supposant $n,p$ et $m-rn-1$ positifs, et prenant l’intégrale depuis $u=0$ jusqu’à $u={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}},$

$\int u^{m-1}\operatorname {d} u\left(1-au^{n}\right)^{p}=$

${\tfrac {(m-n)(m-2n)\ldots (m-rn)}{a^{r}(m+np)\left[m+n(p-1)\right]\ldots \left[m+n(p-r+1)\right]}}\int u^{m-rn-1}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u$

Faisant d’abord $U=u$ et $U_{l}=\left(1-au^{n}\right)^{p},$ on aura

$\int u^{m}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u=z_{x}\,;$

mais il est facile de voir, par la formule précédente, que cette quantité doit, en général, dépendre d’un nombre $n$ d’intégrales