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RÉSULTAT

ou, en chassant le dénominateur et transposant,

${\frac {x-a}{(x-a)^{2}}}+{\frac {x-b}{(x-b)^{2}}}+{\frac {x-c}{(x-c)^{2}}}+{\frac {x-d}{(x-d)^{2}}}+\ldots =0.$

Or, il est aisé de voir qu’en posant

$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\ldots =X,$

et représentant par $X'$ la dérivée de ce produit, l’équation dessus deviendra

$XX'=0\,;$

nous retrouvons donc d’abord les mêmes valeurs de $x$ que ci-dessus, et en outre celles au nombre de $n-1,$ qui résultent de l’égalité à zéro de la dérivée du produit des erreurs.

Après y avoir bien réfléchi, il nous a paru que, pour n’avoir jamais qu’une solution unique, et conserver néanmoins l’esprit de la méthode qui vient de nous guider ci-dessus, on pouvait procéder par une suite d’approximations, ainsi que nous allons l’expliquer. Admettons la formule

$x={\frac {a+b+c+d+\ldots }{n}},$

non comme moyenne exacte, mais seulement comme moyenne approchée ; en convenant de désigner généralement par $P_{k}$ la somme des produits des données $k$ à $k$ cette formule deviendra

$x={\frac {P_{1}}{n}}.\qquad$(1)

Admettons présentement que le degré de confiance dû à chaque donnée soit en raison inverse de sa différence avec ce premier résultat ; nous aurons, pour seconde approximation,