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RÉSOLUES.

On voit de plus qu’en poursuivant de la même manière on étendrait sans peine la proposition à un nombre quelconque de variables.

En recourant au calcul différentiel, on peut même s’élever à un théorème incomparablement plus général et démontrer que si des variables $x,y,z,\ldots ,$ en nombre quelconque sont liées entre elles par la condition

$\operatorname {f} (x)+\operatorname {f} (y)+\operatorname {f} (z)+\ldots ={\rm {Const.}}$

leur somme $x+y+z+\ldots$ et leur produit $xyz\ldots$ seront maximums, si les deux premières dérivées $\operatorname {f} '(x)$ et $\operatorname {f} ''(x)$ sont de mêmes signes ; et qu’au contraire $x+y+z+\ldots$ sera minimum, si ces deux mêmes dérivées sont de signes contraires, et qu’il en sera de même de $xyz\ldots ,$ si dans ce cas on a en outre $1+x{\frac {\operatorname {f} ''(x)}{\operatorname {f} '(x)}}<0.$

En effet, ne supposons, pour fixer les idées que quatre variables $x,y,z,t$ seulement, nous aurons d’abord, par l’équation de condition,

$\operatorname {f} '(x)\operatorname {d} x+\operatorname {f} '(y)\operatorname {d} y+\operatorname {f} '(z)\operatorname {d} z+\operatorname {f} '(t)\operatorname {d} t=0\,;\qquad$(1)

posant ensuite

${\begin{aligned}&s=x+y+z+t,\\&p=xyzt\,;\end{aligned}}$

nous aurons

${\begin{array}{lr}\operatorname {d} s=\operatorname {d} x+\operatorname {d} y+\operatorname {d} z+\operatorname {d} t,&(2)\\\operatorname {d} p=yzt\operatorname {d} x+ztx\operatorname {d} y+txy\operatorname {d} z+xyz\operatorname {d} t\,;&(3)\end{array}}$

en mettant dans les équations (2, 3) la valeur de $\operatorname {d} t$ donnée par l’équation (1), elles deviendront