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RÉSOLUES.

$x+y=2c-2c\left\{{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {t^{2}}{c^{2m}}}+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {3m-1}{4m}}.{\tfrac {t^{4}}{c^{4m}}}+\ldots \right\}\,;$

on aura ensuite

$x^{m}y^{m}=c^{2m}-t^{2},\quad$d’où$\quad xy={\sqrt[{m}]{c^{2m}-t^{2}}}=c^{2}{\sqrt[{m}]{1-\left({\frac {t}{c^{m}}}\right)^{2}}}.$

Cela posé, on voit que $t$ sera d’autant plus petit ou d’autant plus grand que $x-y$ sera lui-même plus petit ou plus grand, c’est-à-dire, que $x$ et $y$ approcheront plus ou moins de l’égalité, mais, par les expressions de $x+y$ et de $xy,$ on voit que ces deux fonctions seront d’autant plus grandes que $t$ sera plus petit, et d’autant moindres que $t$ sera plus grand ; donc $x+y$ et $xy$ seront maximums lorsqu’on aura $x=y$ et minimums, lorsqu’on aura $x=a,\ y=b.$

Si l’on suppose que $a,b$ sont les deux demi-diamètres principaux d’une ellipse ; et qu’on fasse $m=2,\ x$ et $y$ seront deux demi-diamètres conjugués quelconques : ce théorème deviendra donc le premier des deux théorèmes proposés, et il sera démontré en outre que l’angle des diamètres conjugués, dont le sinus est en général ${\frac {ab}{xy}},$ devient le plus petit possible, lorsque ces diamètres sont égaux.

THÉORÈME II. Si trois variables $x,y,z,$ constamment positives, sont liées entre elles par l’équation $x^{m}+y^{m}+z^{m}=a^{m}+b^{m}+c^{m},$ où $a,b,c$ sont également des quantités positives, telles qu’on a $a>b,\ b>c,$ et dans laquelle $m$ est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si $x,y,z,$ ne pouvant varier qu’entre les limites $a,c,$ peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ; $x+y+z$ et $xyz$ seront maximums, lorsqu’on aura $x=y=z,$ et minimums, lorsqu’on aura $x=a,\ y=b,\ z=c.$

Démonstration. 1.^o Si l’on niait que le maximum, tant de $x+y+z$