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QUESTIONS

et que le plus grand et le plus petit des diamètres principaux sont aussi le plus grand et le plus petit de tous les diamètres.

Ayant ensuite aperçu que ces théorèmes n’étaient que des cas particuliers d’autres théorèmes plus généraux et non moins faciles à démontrer ; nous avons pensé devoir nous attacher de préférence à la démonstration de ces derniers.

THÉORÈME I. Si deux variables $x,y,$ constamment positives l’une et l’autre, sont liées entre elles par l’équation $x^{m}+y^{m}=a^{m}+b^{m},$ où $a$ et $b$ sont aussi des quantités positives, que l’on suppose inégales, et dans laquelle $m$ est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si $x$ et $y,$ ne pouvant varier qu’entre les limites $a$ et $b,$ peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ; $x+y$ et $xy$ seront maximums, lorsqu’un aura $x=y,$ et minimums. lorsqu’on aura $x=a,\ y-b.$

Démonstration. Soit posé

$x^{m}+y^{m}=a^{m}+b^{m}=2c^{m},$

ce qui est permis, et soient fait ensuite

$x^{m}=c^{m}+t,\qquad y^{m}=c^{m}-t,$

$t$ étant une nouvelle variable, il viendra

$x=c{\sqrt[{m}]{1+{\tfrac {t}{c^{m}}}}}$

$=c\left\{1+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {t}{c^{m}}}-{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {t^{2}}{c^{2m}}}+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {t^{3}}{c^{3m}}}-\ldots \right\},$

$y=c{\sqrt[{m}]{1-{\tfrac {t}{c^{m}}}}}$

$=c\left\{1-{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {t}{c^{m}}}-{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {t^{2}}{c^{2m}}}-{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {t^{3}}{c^{3m}}}-\ldots \right\}\,;$

d’où

$x-y=$

$2c\left\{{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {t}{c^{m}}}+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {t^{3}}{c^{3m}}}+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {3m-1}{4m}}.{\tfrac {4m-1}{5m}}.{\tfrac {t^{5}}{c^{5m}}}+\ldots \right\},$