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QUESTIONS

diamètres d’une ellipsoïde étant donné ; il n’y a absolument de déterminé que le plan de ses deux conjugués, dans lequel, prenant arbitrairement deux diamètres de la section, conjugués l’un à l’autre, ils seront aussi conjugués au premier.

Cela posé, 1.^o si l’on nie que les diamètres principaux de l’ellipsoïde soient les diamètres conjugués dont la somme est minimum, il faudra qu’on indique un autre système de diamètres conjugués jouissant de cette propriété, et dans lequel deux au moins des trois diamètres ne soient pas perpendiculaires l’un à l’autre ; mais alors, en conservant le troisième diamètre, et substituant à ces deux-ci les diamètres principaux de La section qui les contient, on aurait un nouveau système de diamètres conjugués, dont la somme serait (Théor. I) moindre que la somme des premiers, qui conséquemment ne saurait être un minimum, comme on l’avait supposé.

2.^o Si l’on nie que les diamètres conjugués égaux de l’ellipsoïde soient les diamètres conjugués dont la somme est maximum, il faudra qu’on indique un autre système de diamètres conjugués jouissant de cette propriété, et dans lequel deux au moins des trois diamètres soient inégaux ; mais alors, en conservant le troisième diamètre, et substituant à ces deux-ci les diamètres conjugués égaux de la section qui les contient, on aurait un nouveau système de diamètres conjugués, dont la somme serait (Théor. I) plus grande que la somme des premiers, qui conséquemment ne saurait être un maximum, comme on l’avait supposé^[1].

1. Puisque, comme on l’a vu dans le précédent article, il existe dans l’ellipsoïde une infinité de systèmes de diamètres conjugués égaux, il y existe donc aussi une infinité de systèmes de diamètres conjugués ayant une somme maximum ; d’où l’on voit qu’en traitant la seconde partie du théorème par le calcul différentiel, on aurait un exemple du cas singulier dont s’est occupé M. Français, aux pages 132 et 197 du III.^e volume de ce recueil, et dans lequel la théorie ordinaire est en défaut, attendu que le maximum ou le minimum se trouve indéterminé.
   J. D. G.