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DIAMÈTRES

surface conique qui a son centre au centre de l’ellipsoïde. Il est très-aisé d’ailleurs d’obtenir l’équation de cette surface. Soient, en effet,

$x=Mz,\qquad y=Nz,$

les deux équations d’une droite quelconque partant du centre, en la combinant d’une part avec celle de l’ellipsoïde et d’une autre avec celle de la sphère, pour en éliminer $x$ et $y,$ il viendra

$\left({\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {M^{2}}{a^{2}}}+{\frac {N^{2}}{b^{2}}}\right)z^{2}=1,$

$\left(1+M^{2}+N^{2}\right)z^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}.$

Pour que cette droite soit la génératrice de la surface conique dans l’une de ses positions, il faut que ces deux équations donnent une même valeur pour $z\,;$ éliminant donc $z$ entre elles, on obtiendra pour la condition cherchée

$3\left(1+M^{2}+N^{2}\right)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left({\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {M^{2}}{a^{2}}}+{\frac {N^{2}}{b^{2}}}\right)$

en y mettant donc pour $M$ et $N$ leurs valeurs ${\frac {x}{z}},\ {\frac {y}{z}},$ il viendra pour l’équation de la surface conique dont il s’agit

$3{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}.$

Si donc on trace arbitrairement une droite sur cette surface et que, par le centre, on mène un plan parallèle au plan tangent