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CONJUGUÉS.

$Y={\frac {y'}{x'}}X,$

devient, dans le cas actuel,

$Y=\pm {\frac {b}{a}}X\,;$

ainsi, les diamètres dirigés suivant les deux diagonales du rectangle dont il vient d’être question, sont à la fois conjugués l’un à l’autre et égaux entre eux ; et ce sont les seuls qui jouissent de cette double propriété.

Soient $2a,2b,2c$ les trois diamètres principaux d’une ellipsoïde ; prenons-les pour axes des coordonnées, et adoptons $X,Y,Z$ pour symboles des coordonnées courantes, l’équation de la surface sera ainsi

$\left({\frac {X}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {Y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {Z}{c}}\right)^{2}=1.$

Soient $(x,y,z),\ (x',y',z'),\ (x'',y'',z''),$ trois points de cette surface, dont les distances respectives au centre de l’ellipsoïde soient $a',b',c'\,;$ nous aurons

${\begin{array}{rlrl}\left({\frac {x}{a}}\ \ \right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\ \ \right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\ \ \right)^{2}=1,&(1)&x^{2}\,\ +y^{2}\,\ +z^{2}\,\ =a'^{2},&(4)\\\\\left({\frac {x'}{a}}\,\right)^{2}+\left({\frac {y'}{b}}\,\right)^{2}+\left({\frac {z'}{c}}\,\right)^{2}=1,&(2)&x'^{2}\,+y'^{2}\,+z'^{2}\,=b'^{2},&(5)\\\\\left({\frac {x''}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y''}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z''}{c}}\right)^{2}=1,&(3)&x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=c'^{2},&(6).\end{array}}$

De plus, en désignant par $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ les angles que forment deux à deux les demi-diamètres $a',b',c',$ nous aurons