Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/164

158

INTÉGRALES

manière de procéder, nous nous occuperons d’abord de l’ellipse, et afin d’élargir un peu la question, nous y comprendrons la théorie des diamètres conjugués en général.

Soient $2a,2b$ les deux diamètres principaux d’une ellipse ; prenons-les pour axes des coordonnées, et adoptons $X,Y$ pour symboles des coordonnées courantes ; l’équation de la courbe sera ainsi

$\left({\frac {X}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {Y}{b}}\right)^{2}=1.$

Soient $(x,y),\ (x',y')$ deux points de la courbe, dont les distances à son centre soient respectivement $a',b'\,;$ nous aurons

${\begin{array}{rlrl}\left(\ {\frac {x}{a}}\ \right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\ \right)^{2}=1,&(1)&x^{2}+y^{2}\ =a'^{2},&(3)\\\\\left({\frac {x'}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y'}{b}}\right)^{2}=1,&(2)&x'^{2}+y'^{2}=b'^{2},&(4)\\\\\end{array}}$

De plus, en désignant par $\gamma$ l’angle des deux demi-diamètres $a',b',$ nous aurons

$\operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {xy'-yx'}{a'b'}},\quad (5)\qquad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {xx'+yy'}{a'b'}}.\quad (6)$

Si l’on veut que $2a',2b'$ soient des diamètres conjugués, il sera nécessaire et suffisant pour cela que le diamètre parallèle à la tangente en $(x,y)$ contienne $(x',y')\,;$ or, l’équation de ce diamètre est

${\frac {xX}{a^{2}}}+{\frac {yY}{b^{2}}}=0\,;$

puis donc que cette équation doit être satisfaite par $(x',y')$ on aura