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PARALLÉLISME DES LIGNES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

7.

Passons à la considération des longueurs des arcs correspondant des deux courbes. Soient $s$ un arc quelconque de la première, et $\sigma$ l’arc correspondant de la seconde ; nous aurons

${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}},$

et nous aurions pareillement

${\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}},$

si nous considérions $u$ comme fonction de $t,$ variable indépendante ; mais, en considérant $t$ et $u$ comme fonctions de $x,$ et nous rappelant en outre de la relation (3), il faudra écrire

${\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\,;$

or, nous venons de trouver tout-à-l’heure

${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}=1-{\frac {(u-y){\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\,;$

donc, en substituant,

${\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}-{\frac {(u-y){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\,;$

mais