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DÉFINIES.

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .(1+x)}}=\mathrm {Const} .+\operatorname {Log} .x-B_{1}x+{\frac {1}{2}}B_{2}x^{2}-{\frac {1}{3}}B_{3}x^{3}+\ldots .$

cette expression devant être nulle lorsque $x=0,$ il faut prendre

$\mathrm {Const} .=-\operatorname {Log} .0,$

ce qui donne un résultat que l’on peut mettre sous cette forme

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .(1+x)}}=C+[C+\operatorname {Log} .0]+\operatorname {Log} .\left[(1+x)-1\right]-B_{1}\left[(1+x)-1\right]$

$+{\frac {1}{2}}B_{2}\left[(1+x)-1\right]^{2}-B_{3}\left[(1+x)-1\right]^{3}+\ldots$

donc, en écrivant $x$ à la place de $1+x,$ et convenant que $x$ doit être plus grand que l’unité, cette équation donnera

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .x}}=C-\psi (1)+\operatorname {Log} .(x-1)+B_{1}(1-x)+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x)^{2}+\ldots$

pour l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}},$ prise depuis $x=1.$ Cette valeur est, comme l’on voit, toujours infinie, à cause que $-\psi (1)=+\infty$ ; mais si, au lieu de cette aire, toujours positive, on convient de prendre la somme qu’elle constitue en lui ajoutant l’aire négative représentée par \psi(1), on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .x}}=C+\operatorname {Log} .(x-1)+B_{1}(1-x)+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x)^{2}$

$+{\frac {1}{3}}B_{3}(1-x)^{3}+\ldots$ (6)

pour expression de la mesure de la différence absolue de ces deux aires. Pour peu que l’on examine la configuration des deux aires qui constituent cette différence, on sentira que cette série doit fournir des valeurs négatives pour des valeurs de $x$ fort rapprochées