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INTÉGRALES

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\int -{\frac {\operatorname {d} x}{1-x}}-\int \operatorname {d} x\left[B_{1}+B_{2}(1-x)+B_{3}(1-x)^{2}+\ldots \right]\,;$

ou bien, en exécutant l’intégration

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}={\rm {Const}}.+\operatorname {Log} .(1-x)-B_{1}x+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x)^{2}$

$+{\frac {1}{3}}B_{3}(1-x)^{3}+\ldots$

En déterminant la constante arbitraire de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $x=0,$ il viendra

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\operatorname {Log} .(1-x)+B_{1}\left[(1-x)-1\right]+{\frac {1}{2}}B_{2}\left[(x-1)^{2}-1\right]$

$+{\frac {1}{3}}B_{3}\left[(1-x)^{3}-1\right]+\ldots \,;$

donc, en désignant par $C$ la valeur numérique de la série infinie et convergente

$C=-\left(B_{1}+{\frac {1}{2}}B_{2}+{\frac {1}{3}}B_{3}+{\frac {1}{4}}B_{4}+\ldots \right)\,;\qquad (a)$

on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=C+\operatorname {Log} .(1-x)+B_{1}(1-x)+{\frac {1}{2}}B_{2}(x-1)^{2}$

$+{\frac {1}{3}}B_{3}(1-x)^{3}+\ldots \quad$(3).

La valeur de la constante $C$ pourrait être trouvée avec toute la précision que l’on désirerait, en sommant un nombre suffisant de termes du second membre de l’équation $(a)\,;$ mais ce moyen n’est pas le plus expéditif. Il y en a d’autres plus rapides, à l’aide desquels on a calculé ce nombre avec $32$ chiffres décimaux, dont les premiers donnent $C=0,5772156\ldots$

Le second membre de l’équation (3), formé d’après les principes directs du calcul intégral, doit être regardé comme un véritable développement de l’intégrale analitique représentée plus haut par $\operatorname {F} (x)-\operatorname {F} (0).$

Ce développement est évidemment réel et négatif pour toute