Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/153

147

DÉFINIES.

et, en désignant par $\phi (x)-\phi (0)$ l’aire positive terminée par la seconde courbe, on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .(1+x)}}=\phi (x)-\phi (0),$

pour l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}$ depuis $x=1$ jusqu’à $x=x$^[1].

L’aire totale de la première courbe étant exprimée négativement par $\psi (1),$ il est évident que

$\phi (x)-\phi (0)+\psi (1),$

sera la mesure de la différence entre l’aire partielle de la seconde courbe, et l’aire totale de la première ; de sorte que nous ayons

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\phi (x)-\phi (0)+\psi (1),$

pour l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}},$ correspondant à une valeur quelconque de $x$ plus grande que l’unité. Les formules données par M. Bessel fournissent la valeur de cette dernière fonction avec

1. Pour bien suivre tout ceci, il faut avoir bien présente à l’esprit la nature de la courbe exprimée par l’équation $y={\frac {1}{\operatorname {Log} .x}},$ laquelle est composée de deux parties distinctes, la première, entièrement située au-dessous de l’axe des $x,$ et comprise entre l’axe des $y$ et une parallèle menée à cet axe à la distance $+1,$ a cette parallèle pour asymptote et va se terminer brusquement à l’origine ; la seconde, entièremeat située au-dessus de l’axe des $x$ et à droite de la parallèle dont il vient d’être question, est inscrite dans l’angle de ces deux droites qui en sont les asymptotes ; de sorte qu’elle a deux branches infinies, à la manière des hyperboles, et que la parallèle à l’axe des $y$ est asymptote commune des deux courbes.
   J. D. G.