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ET DES SURFACES COURBES.

$r={\frac {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}},\qquad \rho ={\frac {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\right\}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} t^{2}}}}\,;$

donc finalement

$\rho =\gamma \mp k\,;\qquad$(4)

c’est-à-dire, que la différence des rayons de courbure des points correspondans de deux courbes parallèles est constante et égale à la longueur du segment de la normale commune interceptée entre les deux courbes ; d’où il est facile de conclure que les points correspondans de deux courbes parallèles ont le même centre de courbure.

6.

Les propositions établies dans les deux articles précédens auraient pu, au surplus, être facilement déduites de la théorie connue des développées. Lorsqu’en effet une courbe est donnée, sa développée l’est aussi ; et, en supposant un fil qui la développe, l’un des points de ce fil décrira la courbe proposée, et la direction de ce même fil sera normale à cette courbe dans tout le mouvement. Que, si l’on considère sur ce fil un second point éloigné du premier de la quantité $k,$ il est clair, suivant les définitions que nous avons adoptées, que ce point décrira une courbe parallèle à la première.

Or, on voit, 1.^o que les normales seront communes aux deux courbes ; 2.^o qu’elles auront en leurs points correspondans le même centre de courbure ; 3.^o que par conséquent leurs rayons de courbure en ces mêmes points différeront constamment de la quantité $k\,;$ mais il pouvait n'être pas sans intérêt de montrer comment l’analise conduit à tous ces résultats, sans rien emprunter de la théorie des développées.