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PROBLÈME

$Z_{n,x}=M\alpha ^{n}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)^{x}.$

Pour la facilité du développement, nous pourrons supposer $M={\frac {\alpha }{1-\alpha }}\,;$ il viendra alors

$Z_{n,x}=\alpha ^{n}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)^{x-1}=\alpha ^{n}-{\frac {x-1}{1}}\alpha ^{n-1}+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}\alpha ^{n-2}$

$-{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}.{\frac {x-3}{3}}\alpha ^{n-3}+\ldots$

Pour déterminer $\alpha ,$ nous remarquerons que, lorsque $x=1,$ on a $Z_{n,1}=(n-1)!\,;$ donc $\alpha ^{n}=(n-1)!,\ \alpha ^{n-1}=(n-2)!,$ et ainsi de suite ; d’où

$Z_{n,x}=(n-1)!-{\frac {x-1}{1}}(n-2)!+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{3}}(n-3)!-\ldots$

qui, en mettant successivement pour $x$ les valeurs $1,2,3,\ldots$ nous fera retomber sur les résultats déjà obtenus dans notre seconde solution.

On sait que, $e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots$ d’après quoi on doit avoir

$e^{-1}\quad$ou$\quad {\frac {1}{e}}=1-{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+\ldots$

donc

${\frac {e-1}{e}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+\ldots \,;$