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DES RENCONTRES.

équation au moyen de laquelle on déterminera la probabilité qui répond à une valeur quelconque de $n,$ au moyen de celles qui répondent aux valeurs inférieures de cette lettre.

Quatrième solution. Le nombre des chances qui donnent le numéro $x$ à son rang, sans donner aucun des précédens aux leurs, dépendant visiblement de $n$ et de $x,$ nous pouvons le représenter par $Z_{n,x}.$ En conséquence, le nombre des chances qui donnent le numéro $x-1$ à son rang, sans donner aucun des précédens aux leurs, devra être désigné par $Z_{n-1,x}\,;$ et s’il y avait un numéro de moins, ce dernier nombre devrait être désigné par $Z_{n-1,x-1}.$

Or, le nombre des "cas qui donnent le numéro $x$ à son rang, sans donner aucun des précédens aux leurs, est évidemment égal au nombre de ceux où le numéro $x-1$ est à son rang, sans qu’aucun des précédens soient aux leurs, moins le nombre des cas où les numéros $x$ et $x-1$ sont à leurs rangs, sans qu’aucun des précédens soient aux leurs.

Mais ce dernier nombre est évidemment le même qu’il le serait pour le numéro $x-1,$ si le numéro $x$ n’existait pas, c’est-à-dire, s’il n’y avait que $n-1$ numéros seulement ; d’où il suit qu’on doit avoir l’équation aux différences finies et partielles

$Z_{n,x}=Z_{n,x-1}-Z_{n-1,x-1}.$

Pour intégrer cette équation, nous poserons, suivant la méthode de Lagrange, $Z_{n,x}=M\alpha ^{n}\beta ^{x},\ \alpha$ et $\beta$ étant deux constantes indéterminées, et $M$ un nombre arbitraire ; l’équation deviendra ainsi

$M\alpha ^{n}\beta ^{x}=M\alpha ^{n}\beta ^{x-1}-M\alpha ^{n-1}\beta ^{x-1},\quad$ou$\quad \alpha \beta =\alpha -1\,;$

d’où

$\beta =1-{\frac {1}{\alpha }}\quad$et$\quad \beta ^{x}=\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)^{x}\,;$

ce qui donnera