Il est impossible que cinq numéros soient à leurs rangs sans que le sixième n’y soit également, ainsi ce second cas rentre dans le premier.
Chacun des arrangemens où quatre numéros seulement seront à leurs rangs se trouvera à la fois dans des six groupes ; mais il faut voir combien il y aura de ces arrangemens. Or, on voit d’abord que ces quatre numéros pourront être choisis parmi d’un nombre de manières exprimé par il faudra ensuite arranger les deux numéros restans dans les plans vides de manière à ne pas produire des rencontres, puisqu’alors on retomberait dans les cas précédens ; or, le nombre total des manières de les arranger étant et le nombre des rencontres que peuvent offrir leurs diverses dispositions étant le nombre de leurs arrangemens qui n’en fourniront pas sera Le nombre total des sortes d’arrangemens répétés quatre fois sera donc
Par un raisonnement tout semblable, on s’assurera que le nombre des sortes d’arrangemens répétés chacun fois est que le nombre total des sortes d’arrangemens répétés chacun deux fois sera et qu’enfin le nombre total des sortes d’arrangemens simples, c’est-à-dire, de ceux où un seul numéro est à sa place, et qui ne sont conséquemment écrits qu’une seule fois est
Puis donc que dans il ne doit entrer qu’un seul arrangement de chaque sorte, on doit avoir
Au surplus, comme on a et par conséquent on pourra écrire, pour plus de symétrie,
