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DES RENCONTRES.

elle aura lieu aussi pour le $(k+1)$^me, et qu’ainsi elle est générale.

On voit donc que le nombre total des cas favorables, sera la somme des termes de cette série

${\begin{aligned}&(n-1)!\\+&(n-1)!-(n-2)!\\+&(n-1)!-2(n-2)!+(n-3)!\\+&(n-1)!-3(n-2)!+3(n-3)!-(n-4)!\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&(n-1)!-{\tfrac {n-1}{1}}(n-2)!+{\tfrac {n-1}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-3)!-{\tfrac {n-1}{1}}.{\tfrac {n-2}{2}}{\tfrac {n-3}{3}}(n-4)!+\ldots \pm 1\,;\end{aligned}}$

or, par la théorie des nombres figurés, on a

${\begin{aligned}1+1+1+\ldots \ldots \ldots \ \ +1=&n,\\1+2+3+\ldots \ \ +(n-1)=&{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}},\\1+3+6+\ldots +{\tfrac {n-1}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}=&{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}{\tfrac {n-2}{3}},\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donc la somme des termes de cette série, ou le nombre des cas favorables est

${\tfrac {n}{1}}(n-1)!-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)!+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)!-\ldots \pm 1\,;$

c’est-à-dire