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PROBLÈME

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

mais il faudra en déduire le nombre des cas où le numéro $1$ occupe le premier rang ; lequel est

$(n-2)!-2(n-3)!+(n-4)!\,;$

en prenant donc la différence, il restera pour le nombre des cas où le numéro $4$ est au $4.$^me rang, sans qu’aucun de ceux qui le précèdent soient au sien

$(n-1)!-3(n-2)!+3(n-3)!-(n-4)!.$

Par de semblables considérations, on se convaincra qu’en général, si le nombre des cas où le numéro $k$ occupe le k.^me rang sans qu’aucun de ceux qui le précèdent soit au sien ; est

$(n-1)!-{\tfrac {k-1}{1}}(n-2)!+{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}(n-3)!-{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}{\tfrac {k-3}{3}}(n-4)!+\ldots \,;$

le nombre des cas où le numéro $k+1$ occupera le $(k+1)$^me rang, sans qu’aucun de ceux qui le précèdent occupe le sien, sera

$\left\{(n-1)!-{\tfrac {k-1}{1}}(n-2)!+{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}(n-3)!-{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}{\tfrac {k-3}{3}}(n-4)!+\ldots \right\}$

$-\left\{(n-2)!-{\tfrac {k-1}{1}}(n-3)!+{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}(n-4)!-{\tfrac {k-1}{1}}.{\tfrac {k-2}{2}}{\tfrac {k-3}{3}}(n-5)!+\ldots \right\}\,;$

ce qui donne, toutes réductions faites,

$(n-1)!-{\tfrac {k}{1}}(n-2)!+{\tfrac {k}{1}}.{\tfrac {k-1}{2}}(n-3)!-{\tfrac {k}{1}}.{\tfrac {k-1}{2}}{\tfrac {k-2}{3}}(n-4)!-\ldots \pm 1\,;$

ce qui prouve que, si la loi se soutient jusqu’au $k.$^me numéro,