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PROBLÈME

Si l’on prend les différences consécutives de ces probabilités on les trouvera égales à

$-{\frac {1}{2!}},\ +{\frac {1}{3!}},\ -{\frac {1}{4!}},\ +{\frac {1}{5!}},\ -{\frac {1}{6!}},\ +{\frac {1}{7!}},\ -\ldots$

d’où l’analogie conduira à conclure que pour un nombre quelconque $n$ de numéros, la probabilité d’une rencontre au moins sera

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{7!}}-\ldots \pm {\frac {1}{n!}}\,;$

ce qui se trouvera tout-à-l’heure confirmé par d’autres procédés.

Deuxième solution. Pour $n$ numéros, il est clair que le nombre total des chances est $1.2.3.4\ldots n=n!.$ Quant au nombre des chances favorables, il se compose ainsi qu’il suit :

1.^o Des chances qui ont le numéro $1$ au premier rang et les autres dans un ordre quelconque ;

${\begin{array}{rr}6,&\ldots 0,63194\\7,&\ldots 0,63214\\\ldots &\ldots \ldots \,;\end{array}}$

de sorte qu’elles sont alternativement décroissantes et croissantes, suivant que $n$ devient pair ou impair, mais de manière à tendre rapidement vers une certaine limite ; de telle sorte que, si l’on ne veut qu’une simple approximation, on aura sensiblement la probabilité qui doit répondre à une très-grande valeur de $n,$ en calculant celle qui répond à une beaucoup moindre valeur de ce nombre.

J. D. G.