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THÉORÈMES

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ;

Par M. Treuil, professeur de mathématiques au collège
royal de Versailles, professeur de mathématiques
et de physique des Pages du Roi.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient les deux expressions

$a+b+{\sqrt {ab}},\qquad a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\,;$

si l’on a ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}},$ on aura

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a+a')+(b+b')+{\sqrt {(a+a')(b+b')}}\,;\quad$(I)

car, soit ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}=m,$ il viendra $b=ma,\ b'=ma',$ et de là

${\begin{array}{ll}a\ +b\ +{\sqrt {ab}}&=a\ (1+m+{\sqrt {m}}),\\a'+b'+{\sqrt {a'b'}}&=a'(1+m+{\sqrt {m}}),\end{array}}$

d’où, en ajoutant

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a+a')+(ma+ma')+{\sqrt {(a+a')(ma+ma')}},$