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FONCTIONNELLES.

sont applicables qu’à certaines classes d’équations fonctionnelles, à quels caractères distinguera-t-on celles auxquelles elles sont applicables de celles auxquelles elles ne le sont pas ? Voilà, certes, des questions qu’il serait fort intéressant de résoudre.

M. Babbage indique lui même une classe d’équations fonctionnelles qui, ne paraissant pas se rapporter à la théorie des fonctions périodiques, peuvent néanmoins être facilement résolues. Soit, par exemple, l’équation

$a+b\psi x=\psi (a+bx),$

où $a+bx$ n’est point une fonction périodique ; cette équation n’est qu’un cas particulier de celle-ci :

$\operatorname {f} (\psi x)=\psi (\operatorname {f} x),$

laquelle a évidemment pour solution générale

$\psi x=\operatorname {f} ^{n}x,$

où $n$ est un nombre tout-à-fait arbitraire. On a en effet, en substituant,

$\operatorname {f} (\operatorname {f} ^{n}x)=\operatorname {f} ^{n}(\operatorname {f} x),\quad$c’est-à-dire,$\quad \operatorname {f} ^{n+1}x=\operatorname {f} ^{n+1}x.$

Or, dans la proposée, $\operatorname {f} x=a+bx,$ d’où

${\begin{aligned}&\operatorname {f} ^{2}x=a+b(a+bx)=a+ab+b^{2}x,\\&\operatorname {f} ^{3}x=a+ab+b^{2}(a+bx)=a+ab+ab^{2}+b^{3}x,\end{aligned}}$

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